Komunitas SekolahRumah Pelangi Matematika

Hari ini pagi hari hujan: sedikit siswa yang masuk sekolah

2010-12-03T02:12:00.000-08:00

Hari ini hari Jumat sedikit siswa yang masuk sekolah berhubung hari hujan, hari ini mereka SMA klas X belajar matematika membahas pekerjaan rumah, ternyata Tania paling bagus dalam menerima pelajaran cepat mengerti, setelah itu mereka belajar mandiri tentang FISIKA, 4 bab DENGAN CARA MEMBACA DAN MEMBUAT SOAL

Setelah itu rapat guru memeriksa soal-soal yang masuk soal-soal TK, SD, SMP, SMA ternyata masih ada soal yang kurang yaitu soal untuk anak klas VI dan soal SMA untuk Matematika dan Bahsasa Inggris.

Algoritma dan implementasi

2008-09-10T09:14:00.000-07:00

Diberikan dua bilangan asli a dan b, periksa apakah b adalah nol. Jika ya, a adalah FPB. Jika tidak, ulangi proses tadi menggunakan b dan sisa setelah a dibagi oleh b (ditulis sebagai a modulus b). Algoritma ini dapat dinyatakan dengan menggunakan rekursi kanan:

Templat:Wikicode

 function fpb(a, b)
   if b = 0
       return a
   else
       return fpb(b, a modulus b);

Secara iteratif, fungsi ini dapat ditulis sebagai:

 function fpb(a, b)
   while b ≠ 0
       var t := b
       b := a modulus b
       a := t
   return a

Sebagai contoh, FPB dari 1071 dan 1029 yang dihitung dengan menggunakan algoritma ini adalah 21, dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a	b	t

1071	1029	42
1029	42	21
42	21	0
21	0

Dengan mencatat hasil bagi (yang merupakan bilangan bulat) selama menjalankan algoritma, kita juga dapat menentukan bilangan bulat p dan q di mana ap + bq = fpb(a, b). Hal ini dikenal sebagai Ekstensi Algoritma Euklidean.

Algoritma ini dapat digunakan dalam konteks di mana pembagian bersisa memungkinkan. Ini termasuk polinomial cincin dalam suatu medan, juga cincin dari bilangan bulat Gaussian, dan dalam domain Euklidean umum.

Euklid pada mulanya merumuskan masalah ini secara geometri, sebagai masalah untuk mencari "satuan" yang dapat dipakai untuk panjang dari dua buah garis, dan algoritmanya berlangsung dengan mengulangi pengurangan dari sisi yang lebih pendek dari sisi yang lebih panjang. Implementasi ini sama dengan implementasi berikut ini, yang cukup tidak efisien dibandingkan dengan cara yang telah dijelaskan di atas:

 function fpb(a, b)
   while a ≠ b
       if a > b
           a := a - b
       else
           b := b - a
   return a

Interpolasi Polinomial

2008-09-06T02:01:00.003-07:00

Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x₀,y₀)...., (x_n,y_n). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = a_m $x m$ + a_m-1 $x m - 1$ + ... + a₁x + a₀ dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi

karena x_i diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini

Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):

= (1)

Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.

Contoh soal:

Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.

Jawab:

Bentuk Sistem Vandermonde(1):

Untuk data di atas, kita mempunyai

Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination

Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama

Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3

Baris ke-3 dikurangi baris ke-2

Baris ke-4 dikurangi baris ke-2

Baris ke-4 dibagi dengan 2

Baris ke-4 dikurangi baris ke-3

Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas

Jadi, interpolasinya adalah

Menemukan norm dan jarak

2008-09-06T02:01:00.001-07:00

Menghitung Panjang vektor u dalam ruang $R n$

jika u = $(u 1, u 2, u 3,..., u n)$

Maka Panjang vektor u

dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v

[sunting] Bentuk Newton

interpolasi polinominal p(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x₀,y₀),(x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃).

Jika kita tuliskan P(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀

bentuk equivalentnya : p(x)=a₃(x-x₀)³+p(x)=a₂(x-x₀)²+p(x)=a₁(x-x₀)+a₀

dari kondisi interpolasi p(x₀)=y_o maka didapatkan a₀=y_o , sehingga dapat kita tuliskan menjadi

p(x)=b₃(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)+b₂(x-x₀)(x-x₁)+b₁(x-x₀)+b₀ inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :

p(x₀)=b₀

p(x₁)=b₁h₁+b₀

p(x₂)=b₂(h₁+h₂)h₂+b₁(h₁+h₂)+b₀

p(x₃)=b₃(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)h₃+b₂(h₁+h₂+h₃)(h₂+h₃)+b₁(h₁+h₂+h₃)+b₀

sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:

[sunting] Operator Refleksi

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

x₁ = -x = -x + 0y

x₂ = y = 0x + y

atau dalam bentuk matrik :

Secara umum, operator pada R² dan R³ yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.

[sunting] Operator Proyeksi

Berdasarkan operator T:R² -> R² yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:

x₁ = x = x + 0y

x₂ = 0 = 0x + y

atau dalam bentuk matrik :

Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah:

Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R² dan R³ merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.

[sunting] Operator Rotasi

Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R² melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R². Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w₁ = r cos (ɵ + ɸ) ; w₂= r sin (ɵ + ɸ)

Menggunakan identitas trigonometri didapat:

w₁ = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ

w₂ = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ

kemudian disubtitusi sehingga:

w₁ = x cos Θ - y sin Θ

w₂ = x sin Θ + y cos Θ

Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:

Euklidian dalam n-Ruang

2008-09-06T01:59:00.000-07:00

Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a₁.a₂.....a_n). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.

Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.

Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a₁, a₂, a₃) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a₂, a₂, a₃ merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a₁, a₂, a₃ merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a₁, a₂, ...., a_n) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.

u₁ = v₁ u₂ = v₂ u_n = v_n

Penjumlahan u + v didefinisikan oleh

u + v = (u₁ + v₂, u₂ + v₂, ...., u_n + v_n)

Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh

ku = (k u₁, k u₂,...,k u_n)

Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor

0 = (0, 0,...., 0)

Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh

-u = (-u1, -u2, ...., -un)

Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh

v – u = v + (-u)

atau, dalam istilah komponen,

v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)

Sifat-sifat dari vektor dalam $R n$

jika , , dan adalah vektor dalam $R n$ sedangkan k dan m adalah skalar, maka :

(a) u + v = v + u

(b) u + 0 = 0 + u = u

(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0

(e) k (m u) = (k m) u

(f) k (u + v) = k u + k v

(g) (k + m) u = k u + m u

(h) 1u = u

Perkalian dot product didefinisikan sebagai

[sunting] Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi

Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector $y = (y 1, y 2,..., y n)$ dalam $R n$ dalam setiap $y 1, y 2,...., y n$ adalah nilai yang terukur.
Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel $x = (x 1, x 2,..., x 1 5)$ dalam setiap $x 1$ adalah jumlah truk dalam depot pertama dan $x 2$ adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam $R 4$ dan tegangan output bisa ditulis sebagai $R 3$ . Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input $v = (v 1, v 2, v 3, v 4)$ dalam $R 4$ ke vector keluaran $w = (w 1, w 2, w 3)$ dalam $R 3$ .
Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk $v = (x, y, h, s, b)$ dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel $s = (s 1, s 2, s 3,..., s 1 0)$ dalam setiap angka $s 1, s 2,..., s 10$ adalah output dari sektor individual.
Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah $x 1, x 2,..., x 6$ dan kecepatan mereka adalah $v 1, v 2,..., v 6$ . Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector

$V = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, t)$ Dalam $R 13$ . Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.

Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

2008-09-06T01:56:00.000-07:00

Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = tentukan determinan A

Pertama buat minor dari a₁₁

M₁₁ = = detM = a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

Kemudian kofaktor dari a₁₁ adalah

c₁₁ = (-1)¹⁺¹M₁₁ = (-1)¹⁺¹a₂₂a₃₃ x a₂₃a₃₂

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C_ij=±M_ij untuk membedakan apakah kofaktor pada _ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

Begitu juga dengan minor dari a₃₂

M₃₂ = = detM = a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Maka kofaktor dari a₃₂ adalah

c₃₂ = (-1)³⁺²M₃₂ = (-1)³⁺² x a₁₁a₂₃ x a₁₃a₂₁

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

det(A) = a₁₁C₁₁+a₁₂C₁₂+a₁₃C₁₃

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ - a₁₂ + a₁₃

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama

Jawab:

det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8

[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama

Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.

Misalkan ada sebuah matriks A_3x3

A =

maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,

det(A) = a₁₁ - a₂₁ + a₃₁

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₂₁(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) + a₃₁(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₂₁a₂₃a₃₁ + a₃₁a₂₁a₃₂ - a₂₂(a₃₁)² - (a₂₁)²a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Contoh Soal:

A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama

Jawab:

det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8

[sunting] Adjoin Matriks 3 x 3

Bila ada sebuah matriks A_3x3

A =

Kofaktor dari matriks A adalah

C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom

adj(A) =

[sunting] Determinan Matriks Segitiga Atas

Jika A adalah matriks segitiga _nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka $d e t (A)$ adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296

[sunting] Metode Cramer

jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

dimana A _j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom _j dengan matrik b

Contoh soal:

Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini

x₁ + x₃ = 6

-3x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 30

-x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 8

Jawab:

bentuk matrik A dan b

A = b =

kemudian ganti kolom _j dengan matrik b

A₁ = A₂ = A₃ =

dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atas

maka,

[sunting] Tes Determinan untuk Invertibilitas

Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan menunjukkan bahwa det(A) dan det(R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E₁,E₂,...,E_r menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A. Maka,

R=E_r...E₂ E₁ A

dan,

det(R)=det(E_r)...det(E₂)det(E₁)det(E_A)

Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 ≠ 0 dan det(A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det(A) ≠ 0, maka det(R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.

Contoh Soal :

karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.

[sunting] Mencari determinan dengan cara Sarrus

A = tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)

[sunting] Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

[sunting] Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3

A =

kemudian hitung kofaktor dari matrix A
C₁₁ = 12 C₁₂ = 6 C₁₃ = -16

C₂₁ = 4 C₂₂ = 2 C₂₃ = 16

C₃₁ = 12 C₃₂ = -10 C₃₃ = 16

menjadi matrix kofaktor

cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehingga menjadi

adj(A) =

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

$d e t (A) = 64$

[sunting] Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx

dalam sistem aljabar linear sering ditemukan

      Ax = λx    ; dimana λ adalah skalar

sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi

      (λI - A) x = 0

contoh:

diketahui persamaan linear

      x₁ + 3x₂ = λx₁
    4x₁ + 2x₂ = λx₂

dapat ditulis dalam bentuk

       = λ

yang kemudian dapat diubah

A =dan x =

yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi

λ

λ

     Gagal memparse (kesalahan lexing): \begin{bmatrix} {λ}-1 & -3\\ -4 & {λ}-2\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \end{bmatrix}

sehingga didapat bentuk

     λ I - A = Gagal memparse (kesalahan lexing): \begin{bmatrix} {λ}-1 & -3\\ -4 & {λ}-2\\ \end{bmatrix}

namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi

     det (λ I - A) = 0  ;λ adalah eigenvalue dari A

dan dari contoh diperoleh

     det (λ I - A) = Gagal memparse (kesalahan lexing): \begin{bmatrix} {{λ-1}} & -3\\ -4 & {{λ-2}}\\ \end{bmatrix}
= 0

atau λ^2 - 3λ - 10 = 0

dan dari hasil faktorisasi di dapat λ₁ = -2 dan λ₂ = 5

dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ = -2 maka diperoleh

dengan mengasumsikan x₂ = t maka didapat x₁ = t

x =

Determinan

2008-09-06T01:55:00.000-07:00

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A_2x2

A = tentukan determinan A

untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad - bc

Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris

2008-09-06T01:53:00.000-07:00

Matriks Diagonal

Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :

$D - 1$ =

$D D - 1 = D - 1 D = I$

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka

$D k$ =

Contoh :

maka

$A 5$ =

[sunting] Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.

Matriks segitiga

Matriks segitiga bawah

Teorema

Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.

Contoh :

Matriks segitiga yang bisa di invers

A =

Inversnya adalah

$A - 1$ =

Matriks yang tidak bisa di invers

B =

[sunting] Matriks Simetris

Matriks kotak A disebut simetris jika $A = A T$

Contoh matriks simetris

Teorema

Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka

$A T$ adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris $(A B) T = B T A T = B A$

Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka $A - 1$ adalah matriks simetris.

Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa $A = A T$ maka :

$(A - 1) T = (A T) - 1 = A - 1$

Yang mana membuktikan bahwa $A - 1$ adalah simetris.

Produk $A A T$ dan $A T A$

$(A A T) T = (A T) T A T = A A T$ dan $(A T A) T = A T (A T) T = A T A$

Contoh

A adalah matriks 2 X 3

A =

lalu

$A T A$ = =

$A A T$ = =

Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka $A A T$ dan $A T A$ juga bisa di inverse

Transpose Matriks

2008-09-06T01:48:00.000-07:00

Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.

Contoh:

Matriks

A = ditranspose menjadi A^T =

Matriks

B = ditranspose menjadi B^T =

Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:

((A) T) T = A

(A + B) T = A T + B T

dan

(A - B) T = A T - B T

(k A) T = k A T

dimana k adalah skalar

(A B) T = B T A T

Matriks Balikan (Invers)

2008-09-06T01:42:00.000-07:00

JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan $B = A - 1$ ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan $A = B - 1$ . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0

Dengan Rumus =

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan $(A B) - 1 = B - 1 A - 1$

Contoh 1:

Matriks

A = dan B =

AB = = = I (matriks identitas)

BA = = = I (matriks identitas)

Maka dapat dituliskan bahwa $B = A - 1$ (B Merupakan invers dari A)

Contoh 2:

Matriks

A = dan B =

AB = =

BA = =

Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.

Contoh 3:

Matriks

A =

Tentukan Nilai dari A^-1

Jawab:

Contoh 4:

Matriks

A = , B = , AB =

Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan

, ,

Maka

Ini membuktikan bahwa $(A B) - 1 = B - 1 A - 1$

oprasi dala matriks

2008-09-06T01:40:00.000-07:00

Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.

Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :

a.) A + B = B + A

b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar

Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ c_ij ] berordo m x n dimana c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_ip b_pj

2008-09-06T01:39:00.001-07:00

Bentuk Eselon-baris

Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :

1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.

4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi

Contoh: syarat 1: baris pertama disebut leading 1

syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

[sunting] Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2 y + z = 6

x + 3 y + 2 z = 9

2 x + y + 2 z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Baris ke 2 dikurangi baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2 y + z = 6

y + z = 3

z = 3

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

y = 0

x + 2 y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

Jadi nilai dari $x = 3$ , $y = 0$ ,dan $z = 3$

[sunting] Operasi Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.

Contoh: Diketahui persamaan linear

x + 2 y + 3 z = 3

2 x + 3 y + 2 z = 3

2 x + y + 2 z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut

Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1

Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2

Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1

Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3

Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

Maka didapatkan nilai dari $x = 2$ , $y = - 1$ ,dan $z = 1$

Persamaan Linier & Matriks

2008-09-06T00:30:00.001-07:00

Persamaan linier dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:

3x₁ + 4x₂ − 2 x₃ = 5

x₁ − 5x₂ + 2x₃ = 7

2x₁ + x₂ − 3x₃ = 9

dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.

Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n = 0

Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x₁ = 0 , x₂ = 0 , ... , x_n = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar MatematikaTingkat VI/Kelas XI s.d XII SMA / MA

2008-09-01T09:54:00.000-07:00

Tingkatan VI
Derajat Mahir 2
Setara Kelas XI s.d XII SMA / MA
Bobot SKK : 8

Statistika dan Peluang

Standar Kompetensi :
1. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifatsifat peluang dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive
Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan ogive serta penafsirannya
Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya
Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah
Menentukan ruang sampel suatu percobaan
Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya

Trigonometri

Standar Kompetensi :
2. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya

Kompetensi Dasar :

Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan kosinus sudut tertentu
Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus
Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus

Aljabar

Standar Kompetensi :
3. Menyusun persamaan lingkaran dan garis singgungnya

Kompetensi Dasar :

Menyusun persamaan lingkaran yang memenuhi persyaratan yang ditentukan
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi

Standar Kompetensi :
4. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah

Kompetensi Dasar :

Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian
Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah

Standar Kompetensi :
5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

Kompetensi Dasar :

Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi
Menentukan invers suatu fungsi

Standar Kompetensi :
6. Menyelesaikan masalah program linear

Kompetensi Dasar :

Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel
Merancang model matematika dari masalah program linear
Menyelesaikan model matematika dari masalah program linear dan penafsirannya

Standar Kompetensi :
7. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain.
Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2
Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.
Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.
Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah
Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya

Standar Kompetensi :
8. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri.
Menggunakan notasi sigma dalam deret dan induksi matematika dalam pembuktian
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan deret dan penafsirannya

Standar Kompetensi :
9. Menggunakan aturan yang berkaitan dengan fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma dalam pemecahan masalah
Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma
Menggunakan sifat-sifat fungsi eksponen atau logaritma dalam penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma sederhana

Kalkulus

Standar Kompetensi :
10. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di takhingga
Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi
Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya

Standar Kompetensi :
11. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar :

Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu
Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana.
Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar

SKLMP MTK 1 - KD 1: Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.

2008-08-26T00:31:00.000-07:00

Silakan KLIK di gambar untuk mempelajari tentang Pangkat (indices) dan Akar

Silakan KLIK di gambar untuk mempelajari tentang Akar dan bagaimana merasionalkan bilangan irasional (= dengan penyebut akar/ surds)

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Matematika Tingkat V / Kelas X SMA Semester 2

2008-08-25T23:46:00.000-07:00

Tingkatan V
Derajat Mahir 1
Setara Kelas X SMA Semester II
Bobot SKK : 4

Logika

Standar Kompetensi:
4. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor

Kompetensi Dasar:

Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya
Menentukan nilai kebenaran dari suatu per-nyataan majemuk dan pernyataan berkuantor
Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan
Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah

Trigonometri

Standar Kompetensi:
5. Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar:

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan denganperbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya

Geometri

Standar Kompetensi
6. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga

Kompetensi Dasar:

Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga
Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensitiga
Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Matematika Tingkat V / Kelas X SMA Semester 1

2008-08-25T19:14:00.000-07:00

Tingkatan V
Derajat Mahir 1
Setara Kelas X SMA / MA
SEMESTER 1
Bobot SKK 4

Aljabar

Standar Kompetensi:
1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Kompetensi Dasar

Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma.
Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma

Standar Kompetensi :
2. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat

Kompetensi Dasar

Memahami konsep fungsi.
Menggambar grafik fungsi aljabarsederhana dan fungsi kuadrat.
Menggunakan sifat dan aturan tentangpersamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Merancang model matematika darimasalah yang berkaitan dengan persamaandan/atau fungsi kuadrat
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya

Standar Kompetensi:
3. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel.

Kompetensi Dasar

Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel.
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistempersamaan linear.
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistempersamaan linear dan penafsirannya
Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar
Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel
Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan denganpertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya

SKL MP Matematika SMA

2008-08-25T19:05:00.000-07:00

Standar Kompetensi Lulusan Mata Pelajaran

Program IPA

Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor, serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan masalah
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan persamaan garissinggungnya, suku banyak, algoritma pembagian dan teorema sisa, program linear, matriks dan determinan, vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah
Menentukan kedudukan, jarak dan besar sudut yang melibatkan titik, garis dan bidang di ruang dimensi tiga serta menggunakannya dalam pemecahan masalah
Memahami konsep perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, rumus sinus dan kosinus jumlah dan selisih dua sudut, rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah
Memahami limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri di suatu titik dan sifat-sifatnya, turunan fungsi, nilai ekstrem, integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah
Memahami dan mengaplikasikan penyajian data dalam bentuk tabel, diagram, gambar, grafik, dan ogive, ukuran pemusatan, letak dan ukuran penyebaran, permutasi dan kombinasi, ruang sampel dan peluang kejadian dan menerapkannya dalam pemecahan masalah
Memiliki sikap menghargai matematika dan kegunaannya dalam kehidupan
Memiliki kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta mempunyai kemampuan bekerjasama

Program IPS

Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor, serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana, fungsi kuadrat dan grafiknya, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, komposisi dan invers fungsi, program linear, matriks dan determinan, vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah
Menentukan kedudukan, jarak dan besar sudut yang melibatkan titik, garis dan bidang di ruang dimensi tiga serta menggunakannya dalam pemecahan masalah
Memahami konsep perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri serta menggunakannya dalam pemecahan masalah
Memahami limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri di suatu titik dan sifat-sifatnya, turunan fungsi, nilai ekstrem, integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan trigonometri, serta menerapkannya dalam pemecahan masalah
Mengaplikasikan penyajian data dalam bentuk tabel, diagram, gambar, grafik, dan ogive, ukuran pemusatan, letak dan ukuran penyebaran, permutasi dan kombinasi, ruang sampel dan peluang kejadian, dalam pemecahan masalah
Memiliki sikap menghargai matematika dan kegunaannya dalam kehidupan
Memiliki kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis dan kreatif, serta mempunyai kemampuan bekerjasama.

Program BAHASA

Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkarannya, menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor, serta menggunakan prinsip logika matematika dalam pemecahan masalah
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadrat, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, program linear, matriks dan determinan, vektor, transformasi geometri dan komposisinya, barisan dan deret, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah
Menentukan kedudukan, jarak dan besar sudut yang melibatkan titik, garis dan bidang di ruang dimensi tiga serta menggunakannya dalam pemecahan masalah
Memahami konsep perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri serta menggunakan dalam pemecahan masalah
Memahami dan mengaplikasikan penyajian data dalam bentuk tabel, diagram, gambar, grafik, dan ogive, ukuran pemusatan, letak dan ukuran penyebaran, permutasi dan kombinasi, ruang sampel dan peluang kejadian dan menggunakannya dalam pemecahan masalah kehidupan sehari-hari dan ilmu pengetahuan dan teknologi
Memiliki sikap menghargai matematika dan kegunaannya dalam kehidupan
Memiliki kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta mempunyai kemampuan bekerjasama.

Pengantar Kurikulum Matematika SMA (KTSP)

2008-08-25T18:56:00.000-07:00

A. Latar Belakang

Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya pikir manusia. Perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dewasa ini dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang dan matematika diskrit. Untuk menguasai dan mencipta teknologi di masa depan diperlukan penguasaan matematika yang kuat sejak dini.

Mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari pendidikan dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut diperlukan agar peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan memanfaatkan informasi untuk
bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak pasti, dan kompetitif.

Standar kompetensi dan kompetensi dasar matematika dalam dokumen ini disusun sebagai landasan pembelajaran untuk mengembangkan kemampuan tersebut di atas. Selain itu dimaksudkan pula untuk mengembangkan kemampuan menggunakan matematika dalam pemecahan masalah dan mengomunikasikan ide atau gagasan dengan menggunakan simbol, tabel, diagram, dan media lain.

Pendekatan pemecahan masalah merupakan fokus dalam pembelajaran matematika yang mencakup masalah tertutup dengan solusi tunggal, masalah terbuka dengan solusi tidak tunggal, dan masalah dengan berbagai cara penyelesaian. Untuk meningkatkan kemampuan memecahkan masalah perlu dikembangkan keterampilan memahami masalah, membuat model matematika, menyelesaikan masalah, dan menafsirkan solusinya.

Dalam setiap kesempatan, pembelajaran matematika hendaknya dimulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (contextual problem). Dengan mengajukan masalah kontekstual, peserta didik secara bertahap dibimbing untuk menguasai konsep matematika. Untuk meningkatkan keefektifan pembelajaran, satuan pendidikan diharapkan menggunakan teknologi informasi dan komunikasi seperti komputer, alat peraga, atau media lainnya. Selain itu, perlu ada pembahasan mengenai bagaimana matematika banyak diterapkan dalam teknologi informasi sebagai perluasan pengetahuan peserta didik.

B. Tujuan

Mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut.
1. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan konsep atau logaritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah
2. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika
3. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh
4. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah
5. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah

C. Ruang Lingkup

Mata pelajaran Matematika pada program Paket C meliputi aspek-aspek sebagai berikut.

Logika
Aljabar
Geometri
Trigonometri
Kalkulus
Statistika dan Peluang